\section{二元高次方程组}
现在我们利用已经建立起来的线性方程组的理论给出一个解二元高次方程组的一般方法。 为了这个目的，我们先讨论一下两个一元多项式有非常数的公因式的条件。

根据第一章的结果， 可以证明：



\begin{lemma}%引理 
设
\begin{align*}
& f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n},  \tag{1}\\
& g(x)=b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \tag{2}
\end{align*}
是数域 $P$ 上的两个非零的多项式， 它们的系数 $a_{0}, b_{0}$ 不全为零。 于是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $P[x]$ 中有非常数的公因式的充分必要条件是， 在 $P[x]$ 中存在非零的次数小于 $m$ 的多项式 $u(x)$ 与次数小于 $n$ 的多项式 $v(x)$,使
\[
u(x) f(x)=v(x) g(x) .
\]
\end{lemma}



\begin{proof}
先证必要性。 如果 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有非常数的公因式 $d(x)$,即
\[
f(x)=d(x) f_{1}(x), \quad g(x)=d(x) g_{1}(x),
\]
其中 $\partial\left(f_{1}(x)\right)<n, \partial\left(g_{1}(x)\right)<m$, 那么取 $u(x)=g_{1}(x), v(x)=f_{1}(x)$, 显然就有
\[
u(x) f(x)=d(x) f_{1}(x) g_{1}(x)=v(x) g(x) .
\]
再证充分性。 为了确定起见，不妨设 $a_{0} \neq 0$, 也就是说， $f(x)$ 是一 $n$ 次多项式。 假定有 $u(x), v(x)$ 使
\begin{equation*}
u(x) f(x)=v(x) g(x), \tag{3}
\end{equation*}
其中 $\partial(u(x))<m, \partial(v(x))<n$. 令
\[
(f(x), v(x))=d(x),
\]
于是
\[
f(x)=d(x) f_{1}(x), \quad v(x)=d(x) v_{1}(x) .
\]
代入 (3)式，得
\[
d(x) u(x) f_{1}(x)=d(x) v_{1}(x) g(x),
\]
消去 $d(x)$, 有
\begin{equation*}
u(x) f_{1}(x)=v_{1}(x) g(x) . \tag{4}
\end{equation*}
因为 $d(x) \mid v(x)$, 所以 $d(x)$ 的次数小于 $n$, 因而 $f_{1}(x)$ 的次数大于零。 我们知道 $\left(f_{1}(x)\right.$, $\left.v_{1}(x)\right)=1^{1}$, 于是由 (4), 即
\[
f_{1}(x) \mid v_{1}(x) g(x),
\]
得
\[
f_{1}(x) \mid g(x).
\]
这就是说 $f(x)$ 与 $g(x)$ 有一非常数的公因式 $f_{1}(x)$. I
\end{proof}

下面再来把引理中的条件改变一下。令
\[
u(x)=u_{0} x^{m-1}+u_{1} x^{m-2}+\cdots+u_{m-1}, \quad v(x)=v_{0} x^{n-1}+v_{1} x^{n-2}+\cdots+v_{n-1} .
\]
由多项式相等的定义，等式
\begin{equation*}
u(x) f(x)=v(x) g(x) \tag{5}
\end{equation*}
就是左右两端对应系数相等，即
\[
\left\{\begin{align*}
a_{0} u_{0} & =b_{0} v_{0},  \tag{6}\\
a_{1} u_{0}+a_{0} u_{1} & =b_{1} v_{0}+b_{0} v_{1}, \\
a_{2} u_{0}+a_{1} u_{1}+a_{0} u_{2} & =b_{2} v_{0}+b_{1} v_{1}+b_{0} v_{2}, \\
\ldots \ldots \ldots \ldots & \\
a_{n} u_{m-2}+a_{n-1} u_{m-1} & =b_{m} v_{n-2}+b_{m-1} v_{n-1}, \\
a_{n} u_{m-1} & =b_{m} v_{n-1} .
\end{align*}\right.
\]
如果把 (6) 看成一个关于未知量 $u_{0}, u_{1}, \cdots, u_{m-1}, v_{0}, v_{1}, \cdots, v_{n-1}$ 的方程组， 那么它是一个含 $m+n$ 个未知量， $m+n$ 个方程的齐次线性方程组。 显然，引理中的条件： “在 $P[x]$ 中存在非零的次数小于 $m$ 的多项式 $u(x)$ 与次数小于 $n$ 的多项式 $v(x)$ 使 (5) 式成立” 就相当于说，齐次线性方程组 (6) 有非零解。

(1) 参看第一章习题 10 .\\
我们知道， 齐次线性方程组 (6) 有非零解的充分必要条件为它的系数矩阵的行列式等于零。

把线性方程组 (6) 的系数矩阵的行列互换， 再把后边的 $n$ 行反号， 取行列式就得

\begin{center}
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_04_06_3657c10f85bbc477e2bag-32}
\end{center}

对任意多项式
\[
f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}, \quad g(x)=b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m}
\]
(它们可以为零多项式), 我们称行列式 (7) 为它们的结式， 记为 $R(f, g)$. 综合以上分析， 就可证明



\begin{theorem}%定理10 
设
\[
f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}, \quad g(x)=b_{0} x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m}
\]
是 $P[x]$ 中两个多项式， $m, n>0$, 于是它们的结式 $R(f, g)=0$ 的充分必要条件是 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $P[x]$ 中有非常数的公因式或者它们的第一个系数 $a_{0}, b_{0}$ 全为零。
\end{theorem}



\begin{proof}
如 $a_{0}, b_{0}$ 全为零， 或 $f(x), g(x)$ 有一个为零， 则 $R(f, g)=0$. 如 $f(x)$ 与 $g(x)$ 全不为零且有非常数公因式， 由引理有 $u(x), v(x), \partial(u(x))<m, \partial(v(x))<n$, 使 $u(x)$. $f(x)=v(x) g(x)$. 于是 (6) 有非零解。 也得 $R(f, g)=0$.
\end{proof}

反之， 设 $R(f, g)=0$. 若 $f(x), g(x)$ 中有一为零多项式， 定理显然成立。 在 $f(x)$, $g(x)$ 都不为零， 且 $a_{0}, b_{0}$ 不全为零时， 由 $R(f, g)=0$, 则 (6) 有非零解。 知有
\[
u(x)=u_{0} x^{m-1}+u_{1} x^{m-2}+\cdots+u_{m-1}, \quad v(x)=v_{0} x^{n-1}+v_{1} x^{n-2}+\cdots+v_{n-1},
\]
$u(x), v(x)$ 不全为零使 $u(x) f(x)=v(x) g(x)$. 因 $f(x), g(x)$ 全不为零， 必有 $u(x), v(x)$ 全不为零。 所以 $\partial(u(x))<m, \partial(v(x))<n$. 由引理， $f(x), g(x)$ 有非常数公因式。此外就是 $a_{0}=0, b_{0}=0$ 的情况。 定理得证。 I

当 $P$ 是复数域时，两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的。 因此对复数域上多项式 $f(x), g(x), R(f, g)=0$ 的充分必要条件为 $f(x), g(x)$ 在复数域中有公共根或它们的第一个系数全为零。

结式还提供了解二元高次方程组的一个一般的方法。 设 $f(x, y), g(x, y)$ 是两个复系数的二元多项式，我们来求方程组
\[
\left\{\begin{array}{l}
f(x, y)=0  \tag{8}\\
g(x, y)=0
\end{array}\right.
\]
在复数域中的全部解。 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 可以写成
\[
\begin{aligned}
& f(x, y)=a_{0}(y) x^{n}+a_{1}(y) x^{n-1}+\cdots+a_{n}(y), \\
& g(x, y)=b_{0}(y) x^{m}+b_{1}(y) x^{m-1}+\cdots+b_{m}(y),
\end{aligned}
\]
其中 $a_{i}(y), b_{j}(y)(i=0,1, \cdots, n, j=0,1, \cdots, m)$ 是 $y$ 的多项式。 把 $f(x, y)$ 与 $g(x, y)$ 看作是 $x$ 的多项式， 令

\begin{center}
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_04_06_3657c10f85bbc477e2bag-33}
\end{center}

这是一个 $y$ 的复系数多项式。

由定理 10 即得下面定理：



\begin{theorem}%定理11 
如果 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是方程组 (8) 的一个复数解， 那么 $y_{0}$ 就是 $R_{x}(f, g)$ 的一个根; 反过来，如果 $y_{0}$ 是 $R_{x}(f, g)$ 的一个复根，那么 $a_{0}\left(y_{0}\right)=b_{0}\left(y_{0}\right)=0$, 或者存在一个复数 $x_{0}$ 使 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是方程组 (8) 的一个解。
\end{theorem}

由此可知， 为了解方程组 (8), 我们先求高次方程 $R_{x}(f, g)=0$ 的全部根， 把 $R_{x}(f$, $g)=0$ 的每个根代入 (8), 再求 $x$ 的值。 这样， 我们就得到 (8) 的全部解。



\begin{example}%例 
解方程组
\[
\left\{\begin{array}{l}
y^{2}-7 x y+4 x^{2}+13 x-2 y-3=0  \tag{9}\\
y^{2}-14 x y+9 x^{2}+28 x-4 y-5=0
\end{array}\right.
\]
把 (9) 改写一下，
\[
\left\{\begin{array}{l}
y^{2}-(7 x+2) y+\left(4 x^{2}+13 x-3\right)=0, \\
y^{2}-(14 x+4) y+\left(9 x^{2}+28 x-5\right)=0 .
\end{array}\right.
\]
于是
\[
\begin{aligned}
R_{y}(f, g) & =\left|\begin{array}{cccc}
1 & -7 x-2 & 4 x^{2}+13 x-3 & 0 \\
0 & 1 & -7 x-2 & 4 x^{2}+13 x-3 \\
1 & -14 x-4 & 9 x^{2}+28 x-5 & 0 \\
0 & 1 & -14 x-4 & 9 x^{2}+28 x-5
\end{array}\right| \\
& =\left|\begin{array}{cccc}
1 & -7 x-2 & 4 x^{2}+13 x-3 & 0 \\
0 & 1 & -7 x-2 & 4 x^{2}+13 x-3 \\
0 & -7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2 & 0 \\
0 & 0 & -7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2
\end{array}\right| \\
& =\left|\begin{array}{ccc}
1 & -7 x-2 & 4 x^{2}+13 x-3 \\
-7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2 & 0 \\
0 & -7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2
\end{array}\right| \\
& =\left|\begin{array}{ccc}
1 & 0 & -x^{2}-2 x-1 \\
-7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2 & 0 \\
0 & -7 x-2 & 5 x^{2}+15 x-2
\end{array}\right|
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
& =\left(5 x^{2}+15 x-2\right)^{2}-(7 x+2)^{2}(x+1)^{2} \\
& =\left(5 x^{2}+15 x-2-7 x^{2}-9 x-2\right)\left(5 x^{2}+15 x-2+7 x^{2}+9 x+2\right) \\
& =-24\left(x^{2}-3 x+2\right)\left(x^{2}+2 x\right) \\
& =-24 x(x-1)(x-2)(x+2) .
\end{aligned}
\]
$R_{y}(f, g)$ 的 4 个根是
\[
x=0,1,2,-2.
\]
用 $x=0$ 代入 (9), 得
\[
\left\{\begin{array}{l}
y^{2}-2 y-3=0 \\
y^{2}-4 y-5=0
\end{array}\right.
\]
这两个方程的公共根是 $y=-1$, 因之 $(0,-1)$ 是 (9) 的一个解。
\end{example}

用同样的方法可得 (9) 的另外三个解是 $(1,2),(2,3)$ 与 $(-2,1)$. 这四个解就是 (9) 的全部解。

与一元方程相仿， 方程组 (8) 的解的个数与多项式 $f(x, y), g(x, y)$ 的次数也有一定的关系。由于讨论起来比较复杂， 在这里就不谈了。



